Section: New Results

Algèbre linéaire max-plus et convexité abstraite/Max-plus linear algebra and abstract convex analysis

Convexité max-plus ou tropicale/Max-plus or tropical convexity

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Eric Goubault [CEA] , Ricardo Katz [Conicet, Argentine] .

On étudie les analogues max-plus ou tropicaux des ensembles convexes. Ceux-ci sont utiles en particulier pour représenter de manière effective les ensembles d'états accessibles de systèmes à événements discrets [9] , ils sont aussi apparus récemment en géométrie tropicale, dans toute une série de travaux à la suite de Sturmfels et Develin  [98] . Les polyèdres max-plus peuvent aussi être vus comme des limites de déformations de polyèdres classiques, sur lesquels ils donnent un éclairage de nature combinatoire. Toutes ces motivations ont inspiré la recherche d'analogues des résultats fondamentaux d'analyse convexe classique: séparation, projection, points extrémaux, à la suite en particulier de [8] .

Dans un travail de X. Allamigeon, S. Gaubert, et E. Goubault  [68] , [16] , on a mis en évidence un critère combinatoire pour la caractérisation des sommets des polyèdres tropicalement convexes. Celui-ci s'exprime à l'aide d'hypergraphes orientés, et de leurs composantes fortement connexes. Ce critère possède la propriété d'être vérifiable en un temps presque linéaire en la taille de l'hypergraphe.

On en déduit un analogue tropical de la méthode de la double description [16] (méthode très utilisée sur les polyèdres classiques, et dûe à Motzkin et al.  [147] ). Cet algorithme permet de calculer les sommets d'un polyèdre défini de façon externe (intersection de demi-espaces ou d'hyperplans tropicaux). Grâce au critère combinatoire précédent, l'algorithme améliore de plusieurs ordres de grandeur les techniques connues jusqu'alors. Ceci est confirmé par de nombreuses expérimentations. Ce travail est motivé par des applications à l'analyse statique  [67] et aux systèmes à événements discrets  [101] , dans lesquelles la manipulation de tels polyèdres est le goulot d'étranglement.

Dans un travail de X. Allamigeon, S. Gaubert, et R. Katz  [69] , on étend le théorème de McMullen au cas tropical: ce dernier caractérise le nombre maximal de points extrêmes d'un polyèdre, en fonction du nombre d'inégalités qui le définissent et de sa dimension. Nous montrons que la même borne est valide dans le cas tropical (à une modification triviale près). Cependant, le calcul de la borne optimale est encore ouvert dans ce cas.

Il est connu qu'un polyèdre tropical peut être représenté comme l'enveloppe convexe d'un ensemble minimal de points et rayons, donnés par ses sommets et ses rayons extrêmes  [112] . Dans un travail réalisé par X. Allamigeon et R. Katz [48] , et effectué en partie lors d'une visite de R. Katz à Inria (juillet 2011), on étudie la question duale de la caractérisation des représentations minimales par demi-espaces. On montre qu'un polyèdre tropical possède essentiellement une unique représentation minimale par demi-espaces, lorsque leurs apex appartiennent au polyèdre. On montre que les apex de ces demi-espaces non-redondants correspondent à certains sommets du complexe tropical introduit par Develin et Sturmfels  [98] . On introduit également un critère combinatoire pour l'élimination de demi-espaces redondants à l'aide d'hypergraphes orientés.

Dans un travail en cours de X. Allamigeon, P. Benchimol, S. Gaubert et R. Katz (débuté lors d'une visite de ce dernier à Inria en novembre 2012), nous étudions la tropicalisation des représentations par demi-espaces des polyèdres convexes sur le corps des séries de Puiseux. Nous démontrons ainsi une conjecture de Develin et Yu  [99] . Celle-ci assure qu'étant donné un polytope tropical pur, il existe un polytope lift sur les séries de Puiseux, dont les demi-espaces associés aux faces se “tropicalisent” en une représentation par demi-espaces du polytope tropical initial.

English version

We study the max-plus or tropical analogues of convex sets. These have been used in particular to represent effectively the accessible sets of certain discrete event systems [9] . They also appeared in tropical geometry, following the work of Sturmfels and Develin  [98] . Max-plus polyhedra can be thought of as limits of deformations of classical polyhedra, on which they give a combinatorial insight. These motivations have inspired the investigation of analogues of basic results of classical convex analysis: separation, projection, representation by extreme points, following [8] .

In a work of X. Allamigeon, S. Gaubert, and E. Goubault [16] , we introduce a combinatorial criterion for the characterization of the vertices of tropically convex polyhedra. It is expressed in terms of directed hypergraphs and their strongly connected components. This criterion can be verified in almost linear time in the size of the hypergraph.

This allows to develop a tropical analogue of the double description method [16] (this method is widely used for classical convex polyhedra, and is due to Motzkin et al.  [147] ). This algorithm is able to determine all the vertices of a polyhedron defined externally (intersection of tropical half-spaces of hyperplanes). Thanks to the combinatorial criterion mentioned above, the algorithm improves the existing methods by several orders of magnitude. This is confirmed by several experiments. This is motivated by applications to static analysis  [67] and discrete event systems  [101] , in which computing such polyhedra turns out to be the bottleneck.

In a work of X. Allamigeon, S. Gaubert, and R. Katz  [69] , we extend the McMullen upper bound theorem to the tropical case. This theorem characterises the maximal number of extreme points of a polyhedron, as a function of the number of inequalities defining it, and of the dimension. We show that the same bound is valid in the tropical case (up to a trivial modification). However, computing the optimal bound is an open problem in this case.

It is well-known that a tropical polyhedron can be represented as the convex hull of a minimal set of points and rays, provided by its vertices and extreme rays  [112] . In a work of X. Allamigeon and R. Katz [48] , partly done during the visit of R. Katz at Inria (July 2011), the dual problem of characterizing the minimal representations by half-spaces is studied. We show that a tropical polyhedron admits essentially a unique minimal external representation by half-spaces, provided that their apices belong to the polyhedron. We prove that the apices of these half-spaces correspond to certain vertices of the tropical complex introduced by Develin and Sturmfels  [98] . We also establish a combinatorial criterion allowing to eliminate redundant half-spaces using directed hypergraphs.

In an ongoing work of X. Allamigeon, P. Benchimol, S. Gaubert and R. Katz (started during a visit of the latter at Inria in Novembre 2012), we study the tropicalization of the representation by half-spaces of convex polyhedra over the field of Puiseux series. In particular, we prove a conjecture of Develin and Yu  [99] . It states that, given a pure tropical polytope, there exists a lifting polytope over Puiseux series, such that the facet-defining half-spaces are “tropicalized” into a representation by half-spaces of the initial polytope.

Convexes max-plus et jeux avec paiements ergodiques/Max-plus convex sets and mean payoff games

Participants : Marianne Akian, Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Alexander Guterman [Moscow State University] , Ricardo Katz [Conicet, Argentine] , Sergei Sergeev [Birmingham, UK] .

Dans un travail d'Akian, Gaubert et Guterman [15] , on a montré un résultat d'équivalence entre les jeux ergodiques à somme nulle et les systèmes d'inégalités max-plus linéaires: décider la non-vacuité d'un polyèdre tropical est équivalent à vérifier si un jeu déterministe à somme nulle a un paiement moyen par unité de temps positif ou nul. Plus généralement, la même question pour un jeu stochastique à somme nulle est équivalente à vérifier si un convexe tropical (non-polyédral, i.e., défini par un système infini d'inégalités) est vide. Ces résultats sont démontrés à l'aide de techniques de théorie de Perron-Frobenius non-linéaire. Ils sont ensuite appliqués à l'étude de l'indépendance linéaire dans le semi-anneau tropical.

Le résultat de [15] a eu plusieurs retombées.

Dans un travail de Gaubert et Sergeev [24] , on réduit le problème spectral tropical de type faisceaux, $Ax=\lambda Bx$, à un jeu paramétrique (ce qui permet de calculer le spectre en temps pseudo-polynômial).

Enfin, dans un travail de Gaubert, Katz, et Sergeev [22] , on développe un algorithme de programmation linéaire tropicale (pseudo-polynômial) basé sur cette correspondance avec les jeux répétés.

English version

In a work by Akian, Gaubert and Guterman [15] , we showed the equivalence mean payoff games and max-plus linear inequalities: testing whether a tropical polyhedron is non-empty is equivalent to checking whether a mean payoff deterministic game is winning. More generally, checking whether a mean payoff stochastic game is winning is equivalent to checking the non-emptyness of a tropical convex set defined by an infinite family of inequalities. These results are established using techniques of non-linear Perron-Frobenius theory. Then, they are applied to the study of linear independence over the tropical semiring.

The equivalence established in [15] had several consequences.

In a work of Gaubert and Sergeev [24] , the tropical spectral problem for matrix pencils, $Ax=\lambda Bx$, is reduced to a parametric game (which allows one to compute the spectrum in pseudo-polynomial time).

Finally, in a work of Gaubert, Katz, and Sergeev [22] , a (pseudo-polynomial) tropical linear programming algorithm is developed, based on the same correspondence with mean payoff games.