Section: New Results

Théorie spectrale max-plus et géométrie métrique/Max-plus spectral theory and metric geometry

Introduction

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Cormac Walsh.

Étant donné un noyau $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$, on peut lui associer le problème spectral max-plus

dans lequel on cherche le vecteur propre $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ et la valeur propre correspondante $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$. Comme nous l'avons rappelé dans les § 3.2 et 3.3 , le problème spectral (9 ) intervient en contrôle ergodique: l'ensemble $S$ est l'espace des états, et l'application $a(x,y)$ fournit le gain associé à la transition $x\to y$. Le cas où $S$ est fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent également lorsque $S$ est compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité.

Dans  [64] , nous avons considéré le cas où $S$ est non compact. Lorsque $\lambda =0$, l'espace propre est analogue à l'espace des fonctions harmoniques défini en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. En introduisant l'analogue max-plus de la frontière de Martin, nous avons obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution $u$ de (9 ) peut être représentée sous la forme :

où ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où ${\mu }_u$ joue le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré aussi que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de “quasi-géodésiques”. La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horo-fonctions (fonctions de Busemann généralisées), ou horo-frontière. Ces résultats inspirent les travaux des sections suivantes, qui portent sur des cas remarquables d'espaces métriques (§ 6.1.4 ) ou sur des applications en théorie des jeux (§ 6.1.2 ).

English version

Let the kernel $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ be given. One may associate the max-plus spectral equation (9 ), where the eigenvector $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ and the eigenvalue $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$ are unknown. As we recalled in § 3.2 and refmonotone, this spectral problem arises in ergodic optimal control: the set $S$ is the state space, and the map $a(x,y)$ is the transition reward. The case when $S$ is finite is classical, a precise spectral theorem is known, with a characterisation of the eigenspace in terms of a critical graph. Some results have been shown when $S$ is compact, assuming that the kernel $a$ satisfies some regularity properties.

In  [64] , we considered the case where $S$ is non-compact. When $\lambda =0$, the eigenspace is analoguous to the set of harmonic functions defined in classical or probabilistic potential theory. By introducing a max-plus analogue of the classical Martin boundary, we obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution $u$ of (9 ) may be represented as in (10 ) where ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and ${\mu }_u$ plays the role of the spectral measure. We also showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain “almost-geodesics”. The max-plus Martin boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions), or horoboundary. These results have inspired the work of the next sections, which deal either with remarkable examples of metric spaces (§ 6.1.4 ) or applications to zero-sum games (§ 6.1.2 ).

Asymptotiques d'itérées d'applications contractantes au sens large et jeux à somme nulle en horizon long/Asymptotics of iterates of nonexpansive mappings and zero-sum games

Participants : Jérôme Bolte, Stéphane Gaubert, Guillaume Vigeral.

Dans  [116] , on a établi des résultats de type Denjoy-Wolff pour l'étude asymptotique de la valeur d'un jeu répété, lorsque l'horizon tend vers l'infini. On s'intéresse pour cela plus généralement au “taux de fuite” $\rho \left(f\right)={lim}_{k\to \infty }d(x,f^k\left(x\right))/k$ où $f$ est une application contractante au sens large pour une “métrique” $d$ sur un espace $X$. Dans le cas des jeux, $X$ est l'espace des fonctions continues sur l'ensemble des états, $f$ est l'opérateur de Shapley, la métrique $d$ est la norme sup (ou une métrique faible, non-symmétrique, comme $d(x,y)={max}_i(x_i-y_i)$), et $\rho \left(f\right)$ représente le maximum du paiement moyen quand l'état initial varie. On a montré, que si l'espace $X$ est de courbure négative en un sens faible (Busemann), alors il existe une horofonction $h$ telle que $h\circ f\ge h+\rho \left(f\right)$. Ceci entraîne par exemple, lorsque l'espace d'état est compact, l'existence d'un état dont la valeur croît linéairement avec un taux $\rho \left(f\right)$, lorsque l'horizon croît. On a travaillé cette année à la généralisation de ce résultat au temps continu (semigroupes associés à des équations d'Hamilton-Jacobi-Isaacs).

Par ailleurs, dans un travail avec J. Bolte (eprint récent [43] ), on s'est intéressé, dans le cas où $X$ est de dimension finie, à l'existence de la limite ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ (vecteur de paiement moyen). On montre que cette limite existe si l'application $f$ est définissable dans une structure o-minimale. Ceci généralise des résultats de Bewley, Kohlberg, et Neyman, qui montraient que la limite existe si $f$ est semi-algébrique. L'extension au cas o-minimal permet notamment de traiter des opérateurs de type “log-exp” apparaissant en contrôle sensible au risque. Ce travail traite aussi de la question de savoir si un jeu dont les fonctions de paiement et de transition sont définissables dans une structure o-minimale admet un opérateur de Shapley $f$ définissable. Un contre exemple montre que $f$ n'est pas forcément définissable dans la même structure, mais l'on montre qu'il en est ainsi dès que les probabilités de transition ont une structure séparable.

English version

In  [116] , we established Denjoy-Wolff type results for the asymptotic behaviour of the value of a zero-sum game, when the horizon tends to infinity. To this end, we consider more generally the “escape rate” $\rho \left(f\right)={lim}_{k\to \infty }d(x,f^k\left(x\right))/k$ where $f$ is a nonexpansive self-map of a “metric” space $(X,d)$. In the case of games, $X$ is the space of continuous functions on the set of states, $f$ is the Shapley operator, and $d$ is the sup-norm (or a weak, non-symmetric, metric like $d(x,y)={max}_i(x_i-y_i)$), and $\rho \left(f\right)$ represents the “maximal mean payoff”, the maximum being taken over all possible initial states. We showed that if the space $X$ is of nonpositive curvature in a mild sense (Busemann), then, there exists a horofunction $h$ such that $h\circ f\ge h+\rho \left(f\right)$. This implies in particular, when the space state is compact, the existence of an initial state from which the value grows linearly with a rate $\rho \left(f\right)$, as a function of the horizon. We worked this year on the generalisation of this result to the continuous time case (semigroups associated to Hamilton-Jacovi-Isaacs PDE).

Moreover, in a joint work with J. Bolte (recent eprint [43] ), we considered the case in which $X$ is finite dimensional, and studied the existence of the limit ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ (mean payoff vector). We showed that this limit does exist as soon as the map $f$ is definable in an o-minimal structure. This generalizes results of Bewley, Kohlberg, and Neyman, who showed that this limit exists if $f$ is semi-algebraic. The extension to the case of o-minimal structures allows one in particular to deal with log-exp type operators arising in risk sensitive control. This work also adresses the question of knowing whether a game with definable payment and transition functions has a Shapley operator that is definable in the same structure. We gave a counter example showing that this may not be the case, but showed that the Shapley operator is definable as soon as the transition probabilities have a separable structure.

Isométries de la géométrie de Hilbert/Isometries of the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Bas Lemmens [Kent University, UK] .

L'un des intérêts de l'horo-frontière est de renseigner sur le groupe des isométries d'un espace métrique. En effet, ce groupe agit naturellement sur l'horo-frontière, et cette action peut parfois être mieux comprise que l'action du groupe sur l'espace d'origine.

Nous étudions le groupe des isométries pour la métrique de Hilbert. De La Harpe  [181] a donné plusieurs conjectures relatives à ce groupe. Nous conjecturons que le groupe des isométries est exactement le groupe des transformations linéaires projectives à moins que le domaine ne soit une coupe d'un cône symmétrique non-Lorentzien. Nous avons démontré précédemment cette conjecture lorsque le domaine est un polytope  [135] .

Dans le cas général, on peut prouver, en utilisant les horo-fonctions, que si il existe une bijection entre deux cônes homogéne de degré $-1$, antitone, et d'inverse antitone, ces deux cônes sont symétriques. Nous essayons maintenant de montrer que toute isométrie de Hilbert sur un domaine convexe est la version projective d'un automorphisme linéaire du cône sur le domaine, ou d'une bijection du cône, homogéne de degré $-1$, qui est antitone et d'inverse antitone. Ce résultat pemettrait de compléter la preuve de la conjecture proposée plus haut.

L'état actuel de l'étude de ce problème est résumé dans un article de Walsh [41] (chapître d'un “handbook on the Hilbert geometry” à paraître).

English version

One use for the horofunction boundary is to study the group of isometries of a metric space. This is because this group has a well defined action on the horoboundary and it is likely that in many cases this action will be easier to understand than the action on the space itself.

We have been investigating the isometries of the Hilbert geometry. De La Harpe  [181] has previously made several conjectures about the isometry group of this space. We conjecture that the isometry group is exactly the group of projective linear transformations unless the domain on which the geometry is defined is a cross section of a non-Lorentzian symmetric cone. We have previously proved that this conjecture is true in the case of a polytope domain  [135] .

In the general case, we can now prove, using horofunctions, that if a bijection between cones is homogeneous of degree $-1$, order inverting, and has an order inverting inverse, then both cones are symmetric. We are working on showing that every Hilbert isometry on a convex domain arises by considering projectively either a linear automorphism on the cone over the domain, or a homogeneous $-1$, order inverting bijection on this cone with order inverting inverse. Establishing this result would complete our proof of the above conjecture.

The current state of knowledge about this problem has been summarized in a paper by Walsh [41] that will appear as a chapter in a forthcoming handbook on the Hilbert geometry.

Espace de Teichmüller/Teichmüller space

Participant : Cormac Walsh.

L'espace de Teichmüller d'une surface est un espace métrique composé des structures conformes de cette surface. On peut le voir comme l'ensemble des classes d'équivalence des métriques riemanniennes de cette surface, où deux métriques sont équivalentes si il existe une application conforme homotope à l'identité qui envoie l'une des métriques sur l'autre.

Il existe plusieurs métriques naturelles sur l'espace de Teichmüller. Nous avons travaillé précédemment sur la métrique Lipschitz de Thurston et avons prouvé  [174] que l'horo-frontière de cet espace métrique était la frontière de Thurston.

Néanmoins, la métrique la plus utilisées ur l'espace de Teichmüller est la métrique de Teichmüller. L'horo-frontière de cet espace métrique n'est autre que la frontière déja introduite dans la littérature sous le nom de frontière de Gardiner–Masur. Nous étudions cette frontière, en particulier nous donnons explicitement ses points de Busemann [55] .

Par la suite, nous avons l'intention d'utiliser cette propriété afin d'étudier les sous-groupes du groupe modulaire, qui est le groupe des isométries de la métrique de Teichmüller.

English version

An interesting metric space is the Teichmüller space of a surface. This is the space of conformal structures on the surface. One may think of it as the space of equivalence classes of Riemannian metrics on the surface, where two such metrics are regarded as being equivalent if there is a conformal map on the surface taking one to the other that is homotopic to the identity.

There are several natural metrics on Teichmüller space. Previously, we have worked with Thurston's stretch metric and have shown  [174] that the horofunction boundary with this metric is just the usual Thurston boundary.

However, the most commonly used metric on Teichmüller space is Teichmüller's metric. The horofunction boundary of this metric space turns out to be the same as a previously defined boundary, called the Gardiner–Masur boundary. We have been investigating this boundary. In particular, we have managed to work out explicitly its Busemann points [55] .

In future work, we intend to apply this knowledge to study subgroups of the mapping class group, which is the isometry group of the Teichmüller metric.

Consensus non-commutatif et contraction d'opérateurs de Kraus/Noncommutative consensus and contraction of Kraus maps

Participants : Stéphane Gaubert, Zheng Qu.

Dans un travail récent [44] , on s'est intéressé à la vitesse de convergence vers l'équilibre d'une itération de la forme $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, où $T$ est une application linéaire préservant un cône dans un espace de Banach $X$, telle que $T\left(e\right)=e$, pour un certain vecteur $e$ dans l'interieur du cône. On s'intéresse aussi à l'itération dans l'espace dual, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, lorsque $\langle y^0,e\rangle =1$.

Le cas classique est celui où $T\left(x\right)=Px$ est un opérateur de Markov. L'itération primale traduit alors la convergence vers le “consensus”, et l'itération duale traduit la convergence de la distribution de probabilité en temps $k$ vers l'état stationnaire. Dans ce cas, le taux de contraction (en un coup) $\kappa \left(P\right)$ d'une itération primale, pour la semi-norme de Hilbert ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, ainsi que le taux de contraction d'une itération duale, pour la métrique en variation totale, coïncident et sont caractérisés par une formule dûe à Doeblin et Dobrushin (coefficient d'ergodicité),

On a donné ici une généralisation de cette formule au cas d'opérateurs abstraits, qui s'applique en particulier aux opérateurs de Kraus qui interviennent en information quantique. Ces derniers opérent sur l'espace des matrices symmétriques, et sont de la forme

English version

In a recent work [44] , we studied the speed of convergence to equilibrium of an iteration of the form $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, where $T$ is a linear map preserving a cone in a Banach space $X$, such that $T\left(e\right)=e$, for some vector $e$ in the interior of the cone. We also considered the iteration in the dual space $X^{*}$, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, where $\langle y^0,e\rangle =1$.

The classical application arises when $T\left(x\right)=Px$ is a Markov operator. Then, the primal iteration represents the dynamics of consensus, whereas the dual iteration represents the evolution of the probability distribution as a function of time. Then, the (one-shot) contraction rate $\kappa \left(P\right)$ of the primal iteration, with respect to Hilbert's seminorm ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, and the contraction rate of the dual iteration, with respect to the total variation metric, coincide, and are characterized by a formula of Doeblin and Dobrushin (ergodicity coefficient),

We gave here a generalization of this formula to an abstract operators on a cone. This covers in particular the Kraus maps arising in quantum information theory. The latter maps act on the space of symmetric matrices. They can be written as